ในขณะที่นักฟิสิกส์ถือว่าคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ
ในการสืบสวนที่ยอดเยี่ยม แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้ว เว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์ คณิตศาสตร์ก็จบลงด้วยตัวมันเอง เช่นเดียวกับในหนังสือเล่มนี้ การสืบสวนจำกัดความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตและฟิสิกส์ สถานการณ์ก็เหมือนเดิม ยกเว้นว่ามีรูปทรงที่หลากหลายมาก: Euclidean, Riemannian, affine และอื่นๆ มีอะไรน่าสนใจมากกว่านี้ที่จะพูดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตและฟิสิกส์?
คำตอบคือ ‘ใช่’ ดังก้อง สำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิดถูกมองว่าเป็นเรขาคณิตทางเดียวเท่านั้นที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม ราวปี 1823 Nikolay Lobachevsky และ János Bolyai ได้ใช้สัจพจน์ของ Euclid เกี่ยวกับเส้นคู่ขนานกัน ดังนั้นในเรขาคณิตของพวกมัน มุมของรูปสามเหลี่ยมจะรวมกันได้น้อยกว่า 180 องศา เรขาคณิตใหม่เหล่านี้ชี้ให้เห็นว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่ใช่ ‘เรขาคณิต’ ของจักรวาล ‘อย่างชัดเจน’ อันที่จริง นี่เป็นมุมมองที่ค่อนข้างผิวเผิน ตามที่ไอน์สไตน์ระบุไว้ในบทความปี 1936 เรื่อง “Physik und Realitat” ของเขา ที่นี่เขาบอกเป็นนัยว่าการวัดผลทางการเกษตรและที่อื่น ๆ ที่ผูกไว้กับโลกเป็นเวลาหลายศตวรรษทำให้ผู้คนคิดอย่างผิด ๆ ว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นรูปทรงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียวที่เป็นไปได้
หากเราต้องกำจัดอคติแบบยุคลิดออกไป เราต้องนำแนวทางเชิงปรัชญามาใช้มากขึ้นและกลั่นกรองสมมติฐานที่รวมเข้ากับฟิสิกส์อย่างเงียบๆ คนที่จัดการกับปัญหานี้ก็คือ Hermann von Helmholtz เขาได้ตั้งข้อสังเกตในการบรรยายยอดนิยมครั้งหนึ่งของเขา ซึ่งนำเสนอในไฮเดลเบิร์กในปี 2413 ว่า “ถ้ามันมีประโยชน์สำหรับจุดประสงค์ใดๆ เราอาจมองพื้นที่ที่เราอาศัยอยู่อย่างสอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์เป็นพื้นที่ปรากฏหลังกระจกนูนที่มีขนาดสั้นลงและหดตัว ความเป็นมา … เมื่อนั้นเราจึงควรกำหนดให้ร่างกายที่ดูเหมือนแข็ง … มีการขยายตัวและการหดตัวที่สอดคล้องกัน และเราควรจะต้องเปลี่ยนระบบหลักการทางกลทั้งหมด แม้แต่เรื่องที่ทุกจุดเคลื่อนที่ถ้าไม่มีแรงกระทำ ยังคงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าเดิมเป็นเส้นตรงไม่ปรับให้เข้ากับภาพของโลกในกระจกนูน เส้นทางจะเป็นทางตรง แต่ความเร็วจะขึ้นอยู่กับสถานที่นั้น”
การบรรยายของ Helmhotz ถูกเรียกว่า
“ที่มาและความสำคัญของสัจพจน์เรขาคณิต” ซึ่งเป็นหัวข้อที่ครอบคลุมในคอลเล็กชันนี้ซึ่งแก้ไขโดย Jeremy Grey และที่ Grey กล่าวถึงในตอนท้ายของตอนที่ 1 ของหนังสือของเขา
เราสามารถเชื่อมโยงการสังเกตการส่องสว่างของเฮล์มโฮลทซ์และคำใบ้เบื้องต้นเกี่ยวกับกาลอวกาศโค้ง ซึ่งแนะนำในภายหลัง โดยมีคำกล่าวของโรเจอร์ ไฮฟิลด์และพอล คาร์เตอร์ในหนังสือThe Private Lives of Albert Einstein (Faber & Faber) ในปี 1993 พวกเขาชี้ให้เห็นว่า Mileva Maric และ Einstein อ่านงานของ Helmholtz ด้วยกันในปี 1899 สี่ปีก่อนแต่งงาน บางทีงานเขียนของเฮล์มโฮลทซ์เป็นแรงบันดาลใจให้ทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์
อย่างไรก็ตาม ข้อสังเกตทั่วไปดังกล่าวหาได้ยากในหนังสือเล่มนี้ ซึ่งเน้นที่แง่มุมทางเรขาคณิต ดังนั้น ส่วนที่ 1 จึงรวมความพยายามของไฮน์ริช เฮิร์ตซ์ในการ ‘เรขาคณิต’ กลศาสตร์และมุมมองของอองรี ปัวอินคาเรเกี่ยวกับเรขาคณิต ในขณะที่ส่วนที่ 2 เกี่ยวข้องกับงานของแฮร์มันน์ มินโควสกีและเดวิด ฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับสัมพัทธภาพ ฮิลเบิร์ตได้รับอิทธิพลอย่างมากจากหลักการแปรผันตลอดจนวิธีการเชิงสัจพจน์ของเขา อย่างไรก็ตาม หลักการเหล่านี้ถูกตัดสินโดยนักฟิสิกส์ในยุคนั้นว่าไม่เหมาะกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ ถึงกระนั้น ขอบเขตที่กว้างของฮิลเบิร์ตและความเข้าใจของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีฟิสิกส์ก็น่าประหลาดใจ
ส่วนที่ III ของหนังสือเล่มนี้กล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์ ความสอดคล้อง เมทริกซ์เพาลี และหัวข้อเฉพาะทางอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ยังมีเรื่องราวที่เข้าใจง่ายกว่าโดย Umberto Bottazzini ว่า Gregorio Ricci-Curbastro ล้มเหลวในการได้รับรางวัล Royal Prize for Mathematics ในปี 1901 ซึ่ง Accademia dei Lincei ประกาศ บทนี้บอกเราว่าหลังจากสามปีและทั้งๆ ที่มีผู้สมัครจำนวนมาก รางวัลถูกเลื่อนออกไปเป็นปี 1905 Ricci-Curbastro ไม่เคยได้รับรางวัล
ผู้อ่านสามารถอ่านหนังสือเล่มนี้ได้อย่างง่ายดาย เนื่องจากมีผู้เขียนเก้าคนซึ่งดูเหมือนจะได้รับเงื่อนไขอ้างอิงที่ค่อนข้างกว้าง ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นเรื่องยากสำหรับบรรณาธิการที่จะรวมเรื่องราวของพวกเขาเข้าด้วยกันและดึงบทเรียนที่ชัดเจนจากพวกเขาซึ่งอาจเป็นแรงบันดาลใจให้ผู้อ่านทั่วไป ฉันเกรงว่าเกรย์จะไม่ประสบความสำเร็จในเรื่องนี้ ซึ่งเป็นจุดอ่อนในการดำเนินการที่คุ้มค่า อย่างไรก็ตาม หากสิ่งอื่นล้มเหลวในเรื่องนี้ อย่างน้อย เราสามารถถอดความคิดหนึ่งที่เก่ากว่า แต่มีค่า ออกไป และจำไว้ว่า นี่คือ “หลักการความไม่แน่นอนของไอน์สไตน์ (1924)” (คำของผม) ซึ่งบอกว่า “ตราบเท่าที่ข้อเสนอของเรขาคณิตนำไปใช้กับความเป็นจริง สิ่งเหล่านี้ยังไม่แน่นอน ตราบใดที่มีความแน่นอน ก็ไม่สามารถประยุกต์ใช้กับความเป็นจริงได้” เว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์
